Question

[N.T.M.D]

1,Xác định các hằng số a,b sao cho x^3+ax+b chia hết cho x^2+x-2

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Ta có :

Nghiệm của x² + x - 2 là x = 1 và x = -2

=> Để x³ + ax + b chia hết cho x² + x - 2

thì x³ + ax + b cũng nhận x = 1 và x = -2 làm nghiệm

+) Với x = 1

Thế vào x³ + ax + b ta được 

1³ + a.1 + b = 0

=> 1 + a + b = 0

=> a + b = -1 (1)

+) Với x = -2 

Thế vào x³ + ax + b ta được

(-2)³ + a.(-2) + b = 0

<=> -8 - 2a + b = 0

<=> -8 = 2a - b (2)

Từ (1) và (2) => \(\hept{\begin{cases}a+b=-1\\2a-b=-8\end{cases}}\)

Lấy (1) cộng (2) theo vế => 3a = -9 => a = -3

Thế a = -3 vào (1) => -3 + b = -1 => b = 2

Vậy \(\hept{\begin{cases}a=-3\\b=2\end{cases}}\)

Answer 2

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Hoặc là dùng cách này

Ta có : x³ + ax + b có bậc 3

           x² + x - 2 có bậc là 2

=> Thương là một đa thức bậc 1

Giả sử đa thức thương đó là x + c + d

=> x³ + ax + b chia hết cho x² + x - 2

khi và chỉ khi  x³ + ax + b = ( x² + x - 2 )( x + c + d )

                <=> x³ + ax + b = x³ + cx² + dx² + x² + cx + dx - 2x - 2c - 2d

                <=> x³ + ax + b = x³ + x²( c + d + 1 ) + x( c + d - 2 ) - ( 2c + 2d )

Đồng nhất hệ số ta được :

\(\hept{\begin{cases}c+d+1=0\\c+d-2=a\\2c+2d=-b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=2\end{cases}}\)

Vậy a = -3 ; b = 2